ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ СГУ ПО МАТЕМАТИКЕ. 3-5 КУРС

Опубликовано пользователем Калькаев Д.Ю. 11.04.2013г.

Год проведения: 
2012-2013 уч.год
  1. Сколько действительных корней имеет уравнение $ x^{2012}-2012x+2010=0 $ и какого они знака?
  2. На окружности радиуса 1 поставлены 3 точки $ A $, $ B $, $ C $. Какова вероятность того, что треугольник $ ABC $ остроугольный?
  3. Найти интеграл $ I=\int^{\pi/2}_{-\pi/2}\frac{cos x}{2^x+1}\,dx $.
  4. Дана функция $ f(x) $. Известно, что для всех действительных чисел $ x $ выполняются неравенства $ f(x+3)\leq f(x)+3 $ и $ f(x+2)\geq f(x)+2 $. Доказать, что функция $ f(x)-x $ является периодической.
  5. Доказать, что во всякой бесконечной арифметической прогрессии из натуральных чисел встретится число, начинающееся на 10.
  6. При каких значениях параметра $ a $ решение задачи Коши для уравнения $ y''+y=\cos^2 x $, $ y(0)=1/3 $, $ y'(0)=a $, удовлетворяет неравенству $ y(x)\geq 0 $ для всех $ x\in\mathbb R $.

Баннер SGU.RU