ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ СГУ ПО МАТЕМАТИКЕ. 3-5 КУРС

Опубликовано пользователем Калькаев Д.Ю. 03.04.2012г.

Год проведения: 
2011-2012 уч.год
  1. Доказать, что если $ e^{i\alpha} $, $ \alpha\in\mathbb R $, является корнем многочлена $ z^n+p_1z^{n-1}+\dots+p_n $, где $ p_j\in\mathbb R $, $ 1\leq j\leq n $, то $ \sum\limits^n_{j=1}p_j\sin j\alpha=0 $.
  2. Пусть $ \xi $ и $ \eta $ - независимые случайные величины, $ p=P(\xi $ > $  0) $, $ q=1-p $. Доказать, что $ p^2\leq P(\xi  $ > $ 0)\leq 1-q^2 $.
  3. Пусть многочлен $ P(x) $ с целыми коэффициентами принимает значение $ 3 $ в четырех различных точках $ a,b,c,d $. Доказать, что при любых  $ x\in\mathbb Z $ значение $ P(x) $ не равно числам $ 2,4,6,8 $.
  4. Пусть $ l_1=\{{\bf x}=(x_1,x_2,\dots):\|{\bf x}\|_1=\sum\limits_{i=1}^\infty|x_i| $<$ \infty\} $ и $ l_\infty=\{{\bf x}=(x_1,x_2,\dots):\|{\bf x}\|_\infty=\sup\limits_{i\in\mathbb N}|x_i| $<$ \infty\} $. Найти замыкание $ l_1 $ в $ l_\infty $.
  5. Найти все натуральные числа $ n $, $ k $, такие что $ k $ < $ n $ и $ k^n=n^k $.
  6. Каждый из узлов бесконечного клетчатого листа бумаги раскрашен в один из двух цветов. Доказать, что существует бесконечное одноцветное множество узлов, имеющее один центр симметрии.

Баннер SGU.RU