ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ СГУ ПО МАТЕМАТИКЕ. 1-2 КУРС

Опубликовано пользователем Бессонов Л.В. 27.03.2011г.

Год проведения: 
2010-2011 уч.год
  1. Что больше: $ 2011^{2010} $ или $ 2010^{2011} $?
  2. Найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего при данной площади $ S $ наименьший периметр.
  3. Каждое из чисел $ x,y,z $ равно косинусу суммы двух остальных. Доказать, что $ x=y=z $.
  4. Пусть $ f(x) $ непрерывна на $ [0,1] $ и дифференцируема на $ (0,1) $. Доказать, что если $ f(0)=f(1)=0 $, то $ f'(c)=f(c) $ в некоторой точке $ c\in (0,1) $.
  5. Могут ли числа 10, 11, 13 быть членами одной геометрической прогрессии?
  6. Пусть
    $$A=\left( \begin{array}{cccc}  3&2\\  2&0 \end{array}  \right),  \qquad A^n=\left( \begin{array}{cccc}     &a_{11}(n)&a_{21}(n)\\     &a_{12}(n)&a_{22}(n)     \end{array}\right).$$

    Доказать существование и найти предел $ \lim\limits_{n\to\infty}a_{12}(n)/a_{22}(n) $.

Баннер SGU.RU