ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ СГУ ПО МАТЕМАТИКЕ. 1-2 КУРС

Опубликовано пользователем Дмитриев П.О. 04.03.2010г.

Год проведения: 
2008-2009 уч.год
  1. Доказать, что функция $ f(x)=e^{x^2}\int^x_0e^{-t^2}\,dt $ возрастает на $ \bf R $ (при $ x<0 $ считаем, что $ \int^x_0g(t)\,dt=-\int^0_xg(t)\,dt $).
  2. Все корни многочлена $ x^3+px+q $, где $ p,q\in \bf R $, $ q\ne 0 $, вещественны. Доказать, что $ p<0 $.
  3. В основании правильной пирамиды лежит многоугольник с нечетным числом сторон. Можно ли расставить стрелки на ребрах этой пирамиды так, что сумма полученных векторов будет равна нулю?
  4. Пусть $ A $ и $ B $ — матрицы размера $ n\times n $, причем $ A $ обратима, $ E $ — единичная матрица. Возможны ли равенства а) $ AB-BA=E $; б) $ AB-BA=A $?
  5. Доказать, что в любом треугольнике отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности не превосходит $ 1/2 $.
  6. Пусть функция $ f(x) $ дважды дифференцируема на $ [0,1] $, $ f(0)=f(1)=0 $ и $ \max\limits_{x\in[0,1]}f(x)=1 $. Доказать, что $ \min\limits_{x\in[0,1]}f''(x)\leq -8 $.

Баннер SGU.RU