Символ факультета Официальный сайт механико-математического факультета
Контакты
О факультете
Кафедры
Сотрудникам и студентам

Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики

Хромов Август Петрович

Хромов Август Петрович

Заведующий кафедрой, профессор

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и прикладной математики со дня ее основания в 1976 году. Вся его научная, педагогическая и общественная деятельность неразрывно связана с механико-математическим факультетом Саратовского государственного университета, куда он пришел учиться в 1953 году. Сейчас А.П. Хромов – Заслуженный деятель науки Российской Федерации, почетный профессор СГУ, академик Российской академии естественных наук и Международной академии наук высшей школы. Он является президентом Саратовского математического общества, председателем специализированного совета по защите кандидатских диссертаций при СГУ, членом специализированного совета по защите докторских диссертаций при Институте математики и механики УрО РАН в г. Екатеринбурге. Имя А.П. Хромова широко известно как среди ученых нашей страны, так и за рубежом. Основные его научные интересы и достижения относятся к спектральной теории операторов, одному из самых давних направлений Саратовского университета. В исследованиях А.П. Хромова спектральная теория несамосопряженных дифференциальных и интегральных операторов получила глубокое развитие, он стал известным специалистом в этой области и постепенно, начиная с 70-х годов, когда он защитил докторскую диссертацию (1973 г.), создал свою научную школу по этой теории. Эта школа признана одной из ведущих российских научных школ. Свидетельством этому стало присуждение А.П. Хромову гранта Президента Российской Федерации на поддержку ведущих научных школ в 2000 и 2003 г.г. Его учениками защищено 27 кандидатских и 2 докторских диссертации. Велик вклад А.П. Хромова в дело организации математической жизни в Саратове. С 1994 года он является заместителем председателя Оргкомитета Саратовских зимних школ по теории функций, собирающих в Саратове математиков всех уровней, от академиков до аспирантов и студентов со всей России и ближнего зарубежья и являющихся настоящей кузницей отечественных математических кадров. На факультете А.П. Хромов ведет два научных семинара: по спектральному анализу и объединенный семинар по специальности «Математический анализ». Для учеников и сотрудников он прочел факультативный курс по спектральной теории, насчитывающий 100 лекций. Его работы, лекции, выступления отличаются глубиной, ясностью и четкостью. Вот, например, как охарактеризовал недавно вышедшую монографию А.П. Хромова «Конечномерные возмущения вольтерровых операторов» (2004 г.) немецкий математик В. Эберхард: «Ваши результаты накрывают наши исследования в теории дифференциальных операторов. Поздравляю Вас с полнотой и элегантностью изложения». Кстати, именно научные связи А.П. Хромова и В. Эберхарда положили начало научному сотрудничеству между математиками Саратовского и Дуйсбургского (Германия) университетами. К настоящему моменту А.П. Хромов имеет более 200 научных публикаций, многие из них – в центральной печати; является руководителем нескольких грантов и активно занимается научной деятельностью, привлекая к ней своих учеников, среди которых есть и студенты.

Исследования А.П.Хромова по спектральной теории дифференциальных операторов являются развитием фундаментальных работ Дж.Биркгофа, Я.Д.Тамаркина, М.Стоуна, Н.Гопкинса, Д.Джексона, М.В.Келдыша. Им впервые для слабо нерегулярных по Биркгофу краевых условий, т.е., когда для резольвенты допускается любой степенной рост по спектральным параметрам, найдены точные зависимости степени гладкости разлагаемой по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) функции от степени роста резольвенты. Большое внимание уделено А.П.Хромовым дифференциальным операторам с нерегулярными распадающимися краевыми условиями. Резольвента в этом случае имеет экспоненциальный рост, и, начиная с исследований Д.Джексона (1916) и Н.Гопкинса (1919), этим операторам посвящено много работ, но они касались лишь частных случаев операторов. А.П.Хромов полностью описал классы разлагаемых функций (это операторно-аналитические функции Фаге) и дал окончательное решение вопроса о сходимости разложений по с.п.ф. в самом общем случае. Если краевые условия нераспадающиеся, а резольвента имеет экспоненциальный рост, то им полностью решена задача о разложении по с.п.ф. оператора n-кратного дифференцирования. Показана большая роль впервые обнаруженных специальных дифференциально-разностных уравнений, которым удовлетворяет разлагаемая функция.

А.П.Хромов впервые подошел к задаче представления аналитических функций рядами экспонент как к задаче разложения по собственным функциям оператора дифференцирования с краевыми условиями, порождаемыми различными линейными функционалами в аналитических пространствах. На этом пути была выяснена природа известной интерполирующей функции А.Ф.Леонтьева, и данный подход позволил распространить понятие интерполирующей функции на более сложные образования, порождаемые дифференциальными, интегро-дифференциальными и интегральными операторами, проводить построение многих биортогональных систем, аналогично хорошо известному подходу М.М.Джрбашяна и А.В.Нерсесяна. На этом пути была решена важная задача о представлении рядами экспонент произвольных функций, аналитических в какой-либо внутренней подобласти для сопряженной диаграммы характеристической функции.

Большое число конкретных операторов может быть сведено к операторам, представимым в виде суммы вольтерровых и конечномерных. А.П.Хромовым было впервые проведено исследование таких операторов, абстрактно заданных в банаховом пространстве. Результаты о разложении по с.п.ф. получаются за счет естественных требований на бесконечности для отдельных компонент резольвенты. В качестве конкретных операторов им подробно исследуются интегральные операторы с полувырожденными ядрами, и исследование резольвенты в этом случае осуществляется благодаря фундаментальному результату А.П.Хромова об асимптотическом поведении резольвенты интегрального вольтеррова оператора. Эта асимптотика позволяет исследовать достаточно полно и вопрос о полноте с.п.ф. Оказывается, что последний сводится к вопросу о порождающих функциях вольтерровых операторов. Для порождающих функций А.П.Хромовым получены глубокие результаты типа теоремы Мюнца, что и позволило дать решение трудного вопроса о полноте с.п.ф. Интегральные операторы рассматриваемого вида в настоящее время являются единственным хорошо исследованным классом интегральных операторов с экспоненциально растущей резольвентой.

А.П.Хромовым сделан значительный вклад в исследование равносходимости разложений по с.п.ф. и в тригонометрические ряды Фурье, открытой

впервые В.А.Стекловым и А.Хааром. Для случая дифференциальных операторов на конечном интервале он описал классы нерегулярных краевых условий, для которых равносходимость имеет место на некоторых интервалах, и указал точную зависимость этих интервалов от степени нерегулярности. Далее, А.П.Хромов впервые поставил вопрос о равносходимости для интегральных операторов, получил принципиально важный факт о каноническом виде таких операторов и для них дал в неулучшаемых формулировках теоремы равносходимости.

В последние годы Хромовым А.П. исследуются спектральные свойства интегральных операторов, ядра которых имеют особенности на диагоналях и на ломаных линиях. В предположении степенного поведения ядер при подходе к диагоналям им найдены широкие классы операторов, для которых имеет место равносходимость спектральных разложений с разложениями Фурье по тригонометрической системе; получено полное решение вопроса о равномерной сходимости на всем отрезке обобщенных средних Рисса спектральных разложений (соответствующие результаты являются новыми даже для случая функций Грина дифференциальных операторов); описаны вольтерровы операторы с ядрами, имеющими особенности на диагоналях, и изучены вопросы сходимости спектральных разложений конечномерных возмущений таких операторов. Благодаря этим исследованиям вырисовываются границы применимости метода контурного интегрирования резольвенты для спектрального анализа интегральных операторов.

Начиная с 1984 года, в круг интересов А.П.Хромова стали входить задачи оптимального управления. Он нашел новый вид вариаций испытуемых на оптимальность траекторий, когда независимыми параметрами являются «углы» наклона траектории при выходе на границу. Теперь испытуемая траектория становится для таких параметров внутренней точкой, что облегчает получение основных соотношений принципа максимума Понтрягина. Сформулирован новый взгляд на задачу синтеза как на задачу построения оптимального управления в виде функции текущего состояния так, чтобы любое решение замкнутой системы давало оптимальную траекторию заданного семейства оптимальных траекторий. Для линейной управляемой системы с квадратичным критерием качества без ограничений полностью описан класс синтезирующих функций, удовлетворяющих произвольным аффинным граничным условиям.

Научные исследования А.П.Хромова можно представить в следующих шести циклах его работ

  • Спектральная теория обыкновенных дифференциальных операторов на конечном интервале (1962-2005);
  • Вопросы сходимости рядов Дирихле (1969-1991);
  • Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов (1971-2005);
  • Теоремы равносходимости спектральных разложений интегральных операторов (1972-2005);
  • Исследования по теории оптимального управления (1984-1995);
  • Интегральные операторы с ядрами, имеющими особенности на диагоналях и ломаных линиях (1995-2005)
  • Исследования А.П.Хромова охватывают широкий диапазон вопросов спектральной теории операторов и оптимального управления и представляют собой перспективные направления научных исследований. Можно считать, что Хромов А.П. внес большой научный вклад в отечественную математику.

Избранные труды

  1. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов на конечном интервале // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146. № 2. С.1294-1297.
  2. Разложение по собственным функциям обыкновенных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Докл. АН СССР. 1963. Т. 152. № 6. С. 1324-1326.
  3. Разложение по собственным функциям обыкновенных линейных дифференциальных операторов с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Матем. сб. 1966. Т. 70 (112). № 3. С. 310-329.
  4. О порождающих элементах некоторых вольтерровых операторов, связанных с дифференциальными операторами третьего и четвертого порядков // Матем. заметки. 1968. Т. 3. № 6. С. 715-720.
  5. Оператор дифференцирования и ряды типа Дирихле // Матем. заметки. 1969. Т. 6. № 6. С. 759-766.
  6. О представлении произвольных функций некоторыми специальными рядами // Матем. сб. 1970. Т. 83 (125). № 2 (10). С. 165-180.
  7. Об одном представлении ядер резольвент вольтерровых операторов и его применениях // Матем. сб. 1972. Т. 89 (131). № 2 (10). С.207-226.
  8. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов // Докл. АН СССР. 1973. Т. 209. № 2. С. 309-311.
  9. Асимптотика резольвентного ядра вольтеррова оператора и ее применение // Матем. заметки. 1973. Т. 13. № 6. С. 857-868.
  10. Дифференциальный оператор с нерегулярными распадающимися краевыми условиями // Матем. заметки. 1976. Т. 19. № 5. С.763-772.
  11. О порождающих функциях вольтерровых операторов // Матем. сб. 1977. Т.102 (144). № 3. С.457-472.
  12. Теоремы равносходимости для интегродифференциальных и интегральных операторов // Матем. сб. 1981. Т. 114 (156). № 3. С.378-405.
  13. О порождающих функциях интегральных вольтерровых операторов // Матем. заметки. 1983. Т.33. № 3. С.423-434 (совм. с Мацневым Л.Б.).
  14. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией // Матем. заметки. 1994. Т. 56. Вып. 1. С. 3-15 (совм. с Гуревичем А.П.).
  15. Спектральный анализ дифференциальных операторов на конечном интервале // Дифф. уравнения. 1995. Т. 31. № 10. С.1700-1705.
  16. Асимптотика резольвент интегральных вольтерровых операторов // Тр. матем. ин-та им. В.А.Стеклова. 1995. Т. 211. С.419-442.
  17. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Матем. заметки. 1998. Т.64. Вып.6. С.932-949.
  18. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа: Сб. статей. М.: АФЦ, 1999. С.255-266.
  19. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2000. № 2. С.21-26.
  20. Finite-dimensional perturbations of integral operators with kernels discontinuous on the diagonals // Result. Math. 38 (2000). P. 88-104. Birkhauser Verlag. Basel. 2000.
  21. О равносходимости интегральных операторов с переменным пределом интегрирования // Интегральные преобразования и специальные функции. Информационный бюллетень. 2001. Т. 2. № 1. С. 60-72 (совм. с Корневым В.В.).
  22. Суммируемость по Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов // Дифф. уравнения. 2001. Т.37. № 6. С.809-814 (совм. с Гуревичем А.П.).
  23. Суммируемость по Риссу спектральных разложений для конечномерных возмущений одного класса интегральных операторов // Известия вузов. Математика. 2001. № 8 (471). С.38-50 (совм. с Гуревичем А.П.)
  24. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Докл. АН. 2001. Т.379. № 6. С.741-744 (совм. с Корневым В.В.).
  25. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Матем. сб. 2001. Т. 192. № 10. С. 33-50 (совм. с Корневым В.В.).
  26. Интегральные операторы с полувырожденными ядрами // Известия Сарат. ун-та. 2001. Т.1. Вып. 2. С.32-43 (совм. с Гуревичем А.П.).
  27. О суммируемости по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов в пространстве // Докл. АН. 2002. Т.386, №5. С.589-592 (совм. с Гуревичем А.П.).
  28. Поведение резольвенты оператора n-кратного дифференцирования на гладких функциях // Интегральные преобразования и специальные функции. Информационный бюллетень. 2002. Т.3. №1. С.8-17 (совм. с Гуревичем А.П.).
  29. Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов // Известия вузов. Математика. 2003. № 2 (489). С.24-35 (совм. с Гуревичем А.П.).
  30. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Докл. АН. 2003. Т. 393, № 1. С.14-17 (совм. с Курдюмовым В.П.).
  31. О сходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов в пространствах дифференцируемых функций // Интегральные преобразования и специальные функции. Информационный бюллетень. 2004. Т.4. №1. С.19-31 (совм. с Корневым В.В.).
  32. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Матем. заметки. 2004. Т.76. Вып. 1. С.97-110 (совм. с Курдюмовым В.П.).
  33. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов // Современная математика. Фундаментальные направления. 2004. Т.10. С.3-163.
  34. Абсолютная сходимость разложений по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Известий РАН. 2005. Т.69. №3. (совм. с Корневым В.В.).
  35. Интегральные операторы с разрывными ядрами // ДАН. 2006. Т. 406. № 3. С. 317–321.
  36. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. сборник. 2006. Т. 197, вып. 11. С.115–142.
  37. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с переменными пределами интегрирования // Интегральные преобразования и специальные функции. Информацонный бюллетень. 2006. Т.6, № 1. С.46–55.

Powered by Gentoo Linux